Il buco nella sfera

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Messaggioda Kenherkia » 5 apr 2004, 17:24

Il ciondolino..........quale multiplo però ???
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Messaggioda the_goblin » 5 apr 2004, 17:35

Allora, diamo per buono il ragionamento di Xarxus, il buco è un cilindro dentro la sfera, con l'asse passante per il centro, e alto 6cm. Il volume finale, dopo che ho praticato il foro, sarà quello della sfera meno quello del cilindro, meno quello delle due cupole (calotte sferiche) che vengono asportate dal fare il buco, il quale al termine dell'operazione resta appunto lungo 6 cm. Quindi:

(A) VolFinale = Volsfera - VolCilindro - 2xVolCalotta


Fatto R il raggio della sfera qualunque esso sia, e indicando con P il pi greco, abbiamo:

VolSfera = 4/3PR^3


Ora, per il ragionamento di Xarxus precedente, che non sto a ripetere, evidentemente il raggio del cilindro si trova come cateto di un triangolo rettangolo avente 3 di altezza (metà cilindro) e R di ipotenusa, quindi:

RaggioCilindro = RadiceQuadrata(R^2 -9), o meglio
RaggioCilindro^2 = R^2 - 9

Di conseguenza, poiché il volume del cilindro è pari all'area del cerchio di base per l'altezza, abbiamo ora:

VolCilindro = 6P x RaggioCilindro^2, ovvero 6P(R^2 -9)


Restano le calotte. Il volume di una calotta sferica di altezza h in una sfera di raggio R è dato da:

Volume Calotta = 1/3Ph^2 x (3R -h)

Nel nostro caso, però, possiamo vedere con l'aiuto di un disegno che l'altezza di questa calotta, lasciata fra la base superiore del cilindro e il vertice della "cupola", è proprio R-3. Sostituendo quindi R-3 a h nella formula precedente, si ottiene quindi:

VolCalotta = 1/3(R-3)^2 x (2R+3)


Ora, mettendo insieme il tutto nella formula (A), la prima che ho scritto, facendo le dovute sostituzioni per VolSfera, VolCilindro e VolCalotta, facendo qualche sviluppo algebrico non troppo complesso (risoluzione del quadrato di binomi e addizioni algebriche), si ha una sorprendente serie di annullamenti di tutti i fattori contenenti R, da cui risulta:

VolFinale = 36P


che è evidentemente una costante, quindi non dipende in alcun modo dal raggio della sfera, né di conseguenza da quello del cilindro.

Guarda caso, il volume finale corrisponde esattamente al volume di una sfera con 3cm di raggio...
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Messaggioda rporrini » 5 apr 2004, 18:03

A questo punto la soluzione non può che essere a colori:

HoleInTheSpherePrintPlay

:grin:
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Messaggioda Xarxus » 5 apr 2004, 18:03

Yeppa!!! Hovintoquacchecosa?! :lol:
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Messaggioda the_goblin » 5 apr 2004, 18:06

Ci tengo a far presente a lorsignori che non conoscevo né la soluzione né ho consultato alcunché per giungere all'esatta conclusione da me sopra riportata, la cui esattezza ho verificato solo ora che Raffa ha postato il link.
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Messaggioda the_goblin » 5 apr 2004, 18:07

Xarxus ha scritto:Yeppa!!! Hovintoquacchecosa?! :lol:

Si, una mentina succhiata... da Ken!
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Messaggioda rporrini » 5 apr 2004, 18:08

the_goblin ha scritto:Ci tengo a far presente a lorsignori che non conoscevo né la soluzione né ho consultato alcunché per giungere all'esatta conclusione da me sopra riportata, la cui esattezza ho verificato solo ora che Raffa ha postato il link.


Gobbo, da te non mi aspettavo di meno.
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Re: Il buco nella sfera

Messaggioda Bluto_Blutarsky » 5 apr 2004, 18:10

rporrini ha scritto:Se *attraverso il centro* in asse ad una sfera pratichiamo un foro PASSANTE cilindrico(in modo non eccentrico) lungo 6 cm, quale è il volume residuo del solido così creato?
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Messaggioda Bluto_Blutarsky » 5 apr 2004, 18:10

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Messaggioda Cippacometa » 5 apr 2004, 18:24

http://lamar.colostate.edu/~sbenoit/rhyme.pdf

Ragazzi, io avevo trovato quest'altra (spaventosa!) soluzione, che forse piacerà al Gobbo Dottore in Matematica...
Dubitare di tutto o credere a tutto, sono due soluzioni ugualmente comode che ci dispensano entrambe dal riflettere. (H. Poincaré)
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Messaggioda rporrini » 5 apr 2004, 18:25

Cippacometa ha scritto:http://lamar.colostate.edu/~sbenoit/rhyme.pdf

Ragazzi, io avevo trovato quest'altra (spaventosa!) soluzione, che forse piacerà al Gobbo Dottore in Matematica...


Adesso ho capito perché mi hai dato del pazzo!
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Messaggioda the_goblin » 5 apr 2004, 18:28

Un chiaro esempio di come l'eccesso di confidenza con la matematica possa portare a risolvere i problemi in modi diversi, e spesso scegliendo il più complesso...
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Messaggioda rporrini » 5 apr 2004, 18:30

Già, ma a me non verrebbe mai in mente di risolvere analiticamente un problema geometrico!

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Messaggioda Xarxus » 5 apr 2004, 18:30

Risolto, chiudo
Non mi andava di fare i calcoli, ma c'avevo ragione io, pappappero pappappà Immagine
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Messaggioda Kenherkia » 5 apr 2004, 22:49

Devo dire che il Goblin è sempre il Goblin.........poi segue quel rosicone di Xarxus che ci ha messo tutta la buona volontà con quel (poco) che gli ha dato il buon Dio!!!! :verysmile:
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