S. N. S.

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S. N. S.

Messaggioda rporrini » 29 apr 2004, 14:15

S. N. S. sta per Scuola Normale Superiore di Pisa.
Quello che segue è un quesito di ammissione a tale scuola. Questo significa che è destinato a studenti dotati di licenza liceale.

Premetto che non ho la soluzione, ma solamente il testo del problema, per cui mi cimenterò anche io (per quanto mi sia possibile) nella soluzione.

1) Dimostrare che, presi comunque tre vertici di un cubo, il triangolo da essi individuato è rettangolo oppure equilatero.

2) Calcolare la probabilità che tre distinti vertici del cubo, scelti a caso, individuino un triangolo rettangolo (si definisce probabilità il rapporto tra il numero di casi favorevoli ed il numero di casi possibili)

3) Si escludano tre vertici del cubo e si considerino "ammissibili" i restanti cinque. Si indichi con P la probabilità che tre vertici ammissibili del cubo individuino un triangolo rettangolo. Stabilire quanti valori può assumere P al variare dei tre vertici esclusi all'inizio.




Avete quattro ore di tempo per consegnare. :lol:
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Messaggioda pietrog » 29 apr 2004, 17:03

vorrei provare a rispondere al primo quesito

consideriamo i triangoli che posso formare a partire da un vertice:

a) triangoli con vertice opposto:
in questi triangoli uno dei due lati corrsiponde sempre ad uno dei lati del cubo, l'altro passa per la diagonale di una delle facce: questi due lati appartengono a due piani ortogonali fra loro (infatti è sempre possibile considerare che appartengono a facce del cubo diverse e non parallele tra loro) e formano quindi un angolo retto (triangolo rettangolo)

b)triangoli con almeno due vertici adiacenti : troppo facile

c)gli unici triangoli ancora possibili che nn rientrano neu casi a e b sono qeulle formati da tre diagolani di diverse facce del cubo .... queste sono ovviamente tutte uguali quindi i triangoli sono equilateri

dovrebbe essere fatta (spero)
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Messaggioda pietrog » 29 apr 2004, 18:58

sperando che sia vera la mia prima risposta .... provo a rispondere alla
seconda domanda

proviamo a contare i triangoli che posso costruire

a) triangoli a partire da un vertice con vertice opposto:

da quanto detto prima uno dei lati di questi triangoli deve essere una diagonale di una delle facce e deve essere contigua ad uno dei due vertici

quante diagonali sono contigue a due verici opposti in un cubo? in tutto sono 6 (3 ad un vertice 3 all'altro)

quante coppie di vertici opposte abbiamo in un cubo? 4

quindi per il caso a abbiamo 6x4=24 triangoli rettangoli

b) triangoli che possono essere costruiti interamente su una faccia del cubo (ovvero quelli con almeno due vertici contigui):
sono 4 rettangoli quindi dobbiamo contare altri 6x4=24

c) i triangoli che posso formare con le diagonali delle facce di un cubo

contando che 8 angoli possono essere combinati in tutto in 8!/(5!*3!) modi
ovveri in 56 modi i triangoli di questa categoria deovrebbero essere 8 (sono equilateri)

se sovesse essere vero tutto quello che ho scritto allora
RISPOSTA:

CASI FAVOREVOLI=24+24
CASI TOTALI=24+24+8
PROBABILITA' EVENTO=(24+24)/(24+24+8)
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Messaggioda rporrini » 29 apr 2004, 19:29

pietrog ha scritto:PROBABILITA' EVENTO=(24+24)/(24+24+8)


... intuisco un 8 sotto la faccina...
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Messaggioda pietrog » 30 apr 2004, 10:52

yes sorry
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Messaggioda pietrog » 30 apr 2004, 18:11

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaach

ho scoperto parlando con mio cugino di aver commesso almeno due errori!!!!

1) mi sono dimenticato di contare alcuni triangoli
2) la formula che conta in quanti modi posso prendere 3 elementi a partire da 8 non è 8!/(5!*3!)
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Messaggioda renard » 30 apr 2004, 19:09

Il numero di combinazioni in cui si possono prendere n oggetti k per volta è n sopra k, ossia n!/(k!*(n-k)!) quindi è corretta la tua formula. Per il resto non saprei, non mi ci sono messo...
l'importante è vincere!

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Messaggioda pietrog » 3 mag 2004, 10:08

grazie renard ..... allora il tutto dovrebbe essere corretto ..... infatti mi era stato fatto notare che avevo anche dimenticato di contare dei triangoli, ma quando mi hanno descritto quali ci siamo accorti che rientravano nelle categorie già previste ...

abbiamo (siamo io e un mio collega) anche iniziato a risolvere il terzo quesito .... nn è impossibile (p puo' variare al max in 4 o 5 modi) è che nn abbiamo avuto più tempo
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Messaggioda Xarxus » 10 mag 2004, 15:25

Questo necessita ancora di risposte?

Che fo? Locco?

*agita freneticametne la manina preso da raptus da chiusura* :grin:
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Messaggioda rporrini » 10 mag 2004, 16:06

Non vedo la risposta al terzo quesito. Ma se si rinuncia locca pure...
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Messaggioda Kaitarn » 20 mag 2004, 13:06

Xarxus ha scritto:Questo necessita ancora di risposte?

Che fo? Locco?

*agita freneticametne la manina preso da raptus da chiusura* :grin:


perché tutta 'sta stizza di chiudere?
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Messaggioda Xarxus » 26 mag 2004, 17:27

Perchè se hanno ricevuto tutte le risposte necessarie si trasformano in luoghi di spam... e siccome ci sono altri forum per le goliardie da bar (questo è un indizio;) ), cerchiamo di mantenere questi "puliti" ad uso e consumo di chi abbia interesse alla lettura.
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