Le dita del marziano

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Le dita del marziano

Messaggioda Gwaihir » 9 apr 2004, 15:40

Supponiate che un giorno riusciate a contattare un marziano e gli proponiate di risolvere una semplice equazione:

x2 - 16 x + 41 = 0

Se lui vi dicesse che la differenza delle radici vale 10, quante dita avrebbe il marziano?
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Messaggioda rporrini » 9 apr 2004, 15:55

Conosco la risposta per cui taccio.

Questo è uno degli esercizi che vennero dati all'interno dei test di ammissione alla Normale di Pisa.
La mia prof di matematica ce lo propose al liceo.
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Messaggioda Kenherkia » 9 apr 2004, 15:58

Io tanto meno visto che oramai conosco il sito...........
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Messaggioda Lambo » 9 apr 2004, 16:55

Beh, da come è posto il quiz, aggiungo come ipotesi che il numero di dita del marziano sia correlato in qualche modo all'insieme dei numeri che compongono il suo sistema aritmetico (per noi è il decimale, per i PC è il binario, o, se preferite, l'esadeciamale..... ecc.....)... ed abbia la stessa relazione con le sue dita di quella che abbiamo noi sulla terra (in genere 5 dita per arto, in totale 20, e sistema decimale) per cui il suo numero di dita sarà il doppio dell'insieme dei numeri che compongono la sua base di conto. Questa premessa è dovuta, in quanto gli avi dei francesi, ad esempio, non usavano il sistema decimale, bensi quello bidecimale (ovvero vigesimale), tant'è che ancora oggi per dire ottanta dicono "4 volte 20"....

Premesso ciò (se effettivamente così si intende), e premesso che il marziano colga il significato di tutti i numero presenti, escludo che abbia meno di 6 dita (a meno che non le numeri 1, 2, 4 e 6 [lasciando lo stesso significato che noi attribuiamo allo zero], nel qual caso ne avrebbe minimo 4, ma per adesso tralascerei questa opzione), se adottasse un il sistema decimale, la differenza tra le due radici sarebbe circa 9,6.... non dieci.....

Ora, sappiamo che nella scala decimale, 10 ha valore "dieci", in scala binaria ha valore "due", in scala esadecimale ha valore "sedici", ecc....

La formula, sostituendo al 10 l'incognita "S" (che rappresenta il sistema utilizzato), divinene la seguente:

x^2-(S+6)*x+(4*S+1)=0

Prima Radice : (S+6)/2+1/2*[(S+6)^2-4*(4*S+1)]^(1/2)
Seconda Radice : (S+6)/2-1/2*[(S+6)^2-4*(4*S+1)]^(1/2)

la differenza tra le due radici deve essere 10, ossia S

quindi, sottrendo una radice all'altra ed uguagliando a S, con un paio di semplificazioni ottengo:

|[(S+6)^2-4*(4*S+1)]^(1/2)|=S

Sviluppata diviene:

-4*S+32=0, da cui S=8

Il marzianetto ha dunque 16 dita (immagino 4 per arto), ovvero (a là francese) 8 in tutto (2 per arto).

Spero sia corretta.
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Messaggioda Kenherkia » 9 apr 2004, 16:58

Corretto direi anche se la risposta è da esaurito.........
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Messaggioda Gwaihir » 9 apr 2004, 17:04

Risposta 'ufficiale':

Questa è un'equazione secondo grado, che si risolve imponendo che le due radici debbano avere come somma il coefficiente del termine di primo grado (16), e come prodotto il termine noto (41).
41 è un numero primo, quindi le uniche due radici che possono validare questo prodotto sarebbero 1 e 41!
Nel testo si dice però che la differenza deve essere 10, e ciò significa che il marziano usa una base diversa da quella decimale.
Se dopo alcuni tentativi immaginiamo che l'equazione sia stata scritta in base ottale e la 'traduciamo' in decimale, ne verrebbe:

x2 - 14 x + 33 = 0

Ciò perchè in base "8" il numero 16 corrisponde al decimale 14 ed il 41 corrisponde al decimale 33!
Quindi le due radici decimali sarebbero 3 e 11, la cui differenza è 8 (che in base ottale è 10!).
Si verifica anche che 3 + 11 = 14 (decimale) che corrisponde a 16 in ottale.

Se ne deduce che se questi marziani lavorano in base 8, per analogia con noi, le loro dita debbano essere 8!
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Messaggioda Lambo » 9 apr 2004, 17:32

Ho chiesto di riaprire questo Thread per correggere un pio di errorini....

Gwaihir ha scritto:Risposta 'ufficiale':
Questa è un'equazione secondo grado, che si risolve imponendo che le due radici debbano avere come somma il coefficiente del termine di primo grado (16), e come prodotto il termine noto (41).
41 è un numero primo, quindi le uniche due radici che possono validare questo prodotto sarebbero 1 e 41!


Beh, questa mi sembra un'eresia algebrica vera e propria: le due radici dell'equazione (che effettivamente sommate danno 16 e moltiplicate tra loro danno 41) sono (arrotondo per semplicità) 3,2 e 12,8......
Non mi sembra si parlasse di ipotesi afferenti il campo dei numeri naturali (interi positivi) nel quale in effetti l'equazione non avrebbe radici, per cui
assunto come campo di riferimento quello dei numeri reali, le due radici ci sono, eccome, anche su base decimale.....

Gwaihir ha scritto:Nel testo si dice però che la differenza deve essere 10, e ciò significa che il marziano usa una base diversa da quella decimale.
Se dopo alcuni tentativi immaginiamo che l'equazione sia stata scritta in base ottale e la 'traduciamo' in decimale, ne verrebbe:

x2 - 14 x + 33 = 0

Ciò perchè in base "8" il numero 16 corrisponde al decimale 14 ed il 41 corrisponde al decimale 33!
Quindi le due radici decimali sarebbero 3 e 11, la cui differenza è 8 (che in base ottale è 10!).
Si verifica anche che 3 + 11 = 14 (decimale) che corrisponde a 16 in ottale.

Se ne deduce che se questi marziani lavorano in base 8, per analogia con noi, le loro dita debbano essere 8!


Nessuna dimostrazione può essere ritenuta valida in questa forma.... cosa, fai, prima trovi la soluzione e poi provi a dimostrarla? Non sarebbe generalizzabile in alcun modo ad altri esempi equivalenti.......
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Messaggioda rporrini » 9 apr 2004, 18:05

Concordo pienamente con Lambo.

In una dimostrazione si parte dall'ipotesi per ottenere la tesi.

Tranne che in quelle per assurdo in cui si parte dalla tesi assurda per verificare che contraddice l'ipotesi.
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Messaggioda Gwaihir » 9 apr 2004, 18:22

Premesso che la soluzione non l'ho fatta io, comunque sapendo che la differenza delle soluzioni deve essere 10, si vede che le soluzioni reali non soddisfano questa condizione.
Inoltre l'ipotesi iniziale c'è, ossia il marziano lavora in base diversa da dieci, dopodiché si è proceduto a tentativi, metodo non generalizzabile ma valido.
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