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i cubi in sequenza

MessaggioInviato: 9 apr 2004, 17:13
da rporrini
Dimostrare che se a, b e c sono numeri interi consecutivi a^3 + b^3 + c^3 è un multiplo di 9.

MessaggioInviato: 9 apr 2004, 18:47
da sdp
Un numero al cubo e' divisibile per 3.
la somma di 3 numeri divisibili per 3 e' divisibile per 9

MessaggioInviato: 9 apr 2004, 19:07
da rporrini
sdp ha scritto:Un numero al cubo e' divisibile per 3.


Silvio... hai fumato roba cattiva.
Secondo la tua ipotesi 2^3 = 8 è divisibile per 3.

MessaggioInviato: 9 apr 2004, 19:16
da sdp
rporrini ha scritto:
sdp ha scritto:Un numero al cubo e' divisibile per 3.
Secondo la tua ipotesi 2^3 = 8 è divisibile per 3.

Se io accetto i 20 Euro da Gwaihir allora 2^3 puo' benissimo essere divisibile 3 .... ;)

(cfr 3ad - http://nuke.goblins.net/modules.php?name=Forums&file=viewtopic&t=1076)

Re: i cubi in sequenza

MessaggioInviato: 9 apr 2004, 19:32
da Lambo
rporrini ha scritto:Dimostrare che se a, b e c sono numeri interi consecutivi a^3 + b^3 + c^3 è un multiplo di 9.


Ci stavo provando....
assumendo a=b+1 e c=b-1, l'equazione diviene 3b^3+6b (assumendo b>0); divisa per 3b (che in automatico mi dimostrano che tutti i multipli di 3 assegnati a b sono corretti per la soluzione), diviene b^2+2; dobbiamo a questo punto dimostrare che, qualunque intero (che non sia 3 o un suo multiplo) si assegni a b, b^2+2 sia sempre un multiplo di 3, ossia che valga la seguente uguaglianza: b^2-2=3*k, con b e k interi positivi.

Ora, per il Teorema di Foraeean sugli insiemi omogenei del campo dei numeri naturali, un qualunque intero (diverso da 3 o da un suo multiplo)moltiplicato per se stesso +2 sarà sempre multiplo di 3, e di conseguenza

(b^2+2)/3 sarà sempre un intero positivo (se b non è un multiplo di 3).

Re: i cubi in sequenza

MessaggioInviato: 9 apr 2004, 19:36
da sdp
Lambo ha scritto:dobbiamo a questo punto dimostrare che, qualunque intero (che non sia 3 o un suo multiplo) si assegni a b, b^2+2 sia sempre un multiplo di 3

b=3
b^2+2=11 NON divisibile per 3

MessaggioInviato: 9 apr 2004, 19:40
da renard
Ma ha scritto un qualsiasi numero diverso da 3 o da un suo multiplo...

MessaggioInviato: 9 apr 2004, 19:48
da sdp
renard ha scritto:Ma ha scritto un qualsiasi numero diverso da 3 o da un suo multiplo...
Lo so,infatti ho quotato anche quel pezzo della frase, ma 2^3+3^3+4^3 = 99 e' uno dei numeri accettabili e b=3

MessaggioInviato: 9 apr 2004, 20:22
da Lambo
Ho dimostrato prima (quando ho diviso x 3b) che tutti i multipli di tre (compreso il 3) erano accettabili e dimostravano quanto richesto; il prosieguo della dimostrazione serviva a dimostrare che anche i numeri non multipli di 3 erano OK.